希爾伯特在科學研究上的成就有哪些有關於他的軼事有哪些

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主要成就

科學研究

希爾伯特是對二十世紀數學有深刻影響的數學家之一，他領導了著名的哥廷根學派，使哥廷根大學成爲當時世界數學研究的重要中心，並培養了一批對現代數學發展做出重大貢獻的傑出數學家。

希爾伯特的數學工作可以劃分爲幾個不同的時期，每個時期他幾乎都集中精力研究一類問題。按時間順序，他的主要研究內容有：不變量理論、代數數域理論、幾何基礎、積分方程、物理學、一般數學基礎，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特徵值問題、“希爾伯特空間”等。

在這些領域中，他都做出了重大的或開創性的貢獻。希爾伯特認爲，科學在每個時代都有它自己的問題，而這些問題的解決對於科學發展具有深遠意義。他指出：“只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿着生命力，而問題缺乏則預示着獨立發展的衰亡和終止。”

在1900年巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題爲《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題統稱希爾伯特問題，後來成爲許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未得到解決。他在講演中所闡發的相信每個數學問題都可以得到解決的信念，對數學工作者是一種巨大的鼓舞。他說：“在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這裏有一個數學問題，去找出它的答案!你能通過純思維找到它，因爲在數學中沒有不可知。”三十年後，1930年，在接受哥尼斯堡榮譽市民稱號的講演中，針對一些人信奉的不可知論觀點，他再次滿懷信心地宣稱：“我們必須知道，我們必將知道。”希爾伯特去世後，這句話就刻在了他的墓碑上。

希爾伯特的《幾何基礎》(1899)是公理化思想的代表作，書中把歐幾里得幾何學加以整理，成爲建立在一組簡單公理基礎上的純粹演繹系統，並開始探討公理之間的相互關係與研究整個演繹系統的邏輯結構。

1904年，又着手研究數學基礎問題，經過多年醞釀，於二十年代初，提出瞭如何論證數論、集合論或數學分析一致性的方案。他建議從若干形式公理出發將數學形式化爲符號語言系統，並從不假定實無窮的有窮觀點出發，建立相應的邏輯系統。然後再研究這個形式語言系統的邏輯性質，從而創立了元數學和證明論。希爾伯特的目的是試圖對某一形式語言系統的無矛盾性給出絕對的證明，以便克服悖論引起的危機，一勞永逸地消除對數學基礎以及數學推理方法可靠性的懷疑。

1930年，年輕的奧地利數理邏輯學家哥德爾(K.G?del，1906～1978)獲得了否定的結果，證明了希爾伯特方案是不可能實現的。但正如哥德爾所說，希爾伯特有關數學基礎的方案“仍不失其重要性，並繼續引起人們的高度興趣。”

學術論著

《希爾伯特全集》(三卷，其中包括他的著名的《數論報告》)、《幾何基礎》、《線性積分方程一般理論基礎》等，與其他人合著的有《數學物理方法》、《理論邏輯基礎》、《直觀幾何學》、《數學基礎》。

希爾伯特問題

在1900年巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題爲《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，後來成爲許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發的相信每個數學問題都可以解決的信念，對於數學工作者是一種巨大的鼓舞。

希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題;第7到第12問題是數論問題;第13到第18問題屬於代數和幾何問題;第19到第23問題屬於數學分析。

(1)康託的連續統基數問題。

1874年，康託猜測在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數，即著名的連續統假設。1938年，僑居美國的奧地利數理邏輯學家哥德爾證明連續統假設與ZF集合論公理系統的無矛盾性。1963年，美國數學家科思(P.Choen)證明連續統假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續統假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。

(2)算術公理系統的無矛盾性。

歐氏幾何的無矛盾性可以歸結爲算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發表不完備性定理作出否定。根茨(G.Gentaen，1909-1945)1936年使用超限歸納法證明了算術公理系統的無矛盾性。

(3)只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。

問題的意思是：存在兩個等高等底的四面體，它們不可能分解爲有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。德思(M.Dehn)在1900年已解決。

(4)兩點間以直線爲距離最短線問題。

此問題提的一般。滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯數學家波格列洛夫(Pogleov)宣佈，在對稱距離情況下，問題獲解決。

(5)拓撲學成爲李羣的條件(拓撲羣)。

這一個問題簡稱連續羣的解析性，即是否每一個局部歐氏羣都一定是李羣。1952年，由格里森(Gleason)、蒙哥馬利(Montgomery)、齊平(Zippin)共同解決 [2] 。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結果。

(6)對數學起重要作用的物理學的公理化。

1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。後來，在量子力學、量子場論方面取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。

(7)某些數的超越性的證明。

需證：如果α是代數數，β是無理數的代數數，那麼α^β一定是超越數或至少是無理數(例如，2^√2和exp(π))。蘇聯的蓋爾封特(Gelfond)1929年、德國的施奈德(Schneider)及西格爾(Siegel)1935年分別獨立地證明了其正確性。但超越數理論還遠未完成。目前，確定所給的數是否超越數，尚無統一的方法。

(8)素數分佈問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數問題。

素數是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孿生素數問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題目前也未獲最終解決，其最佳結果分別屬於中國數學家陳景潤和張益唐。

(9)一般互反律在任意數域中的證明。

1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷(E.Artin)各自給以基本解決。而類域理論至今還在發展之中。

(10)能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解?

求出一個整數係數方程的整數根，稱爲丟番圖(約210-290，古希臘數學家)方程可解。1950年前後，美國數學家戴維斯(Davis)、普特南(Putnan)、羅賓遜(Robinson)等取得關鍵性突破。1970年，巴克爾(Baker)、費羅斯(Philos)對含兩個未知數的方程取得肯定結論。1970年。蘇聯數學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況下，答案是否定的。雖然得出了否定的結果，卻產生了一系列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯繫。

(11)一般代數數域內的二次型論。

德國數學家哈塞(Hasse)和西格爾(Siegel)在20年代獲重要結果。60年代，法國數學家魏依(A.Weil)取得了新進展。

(12)類域的構成問題。

即將阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意的代數有理域上去。此問題僅有一些零星結果，離徹底解決還很遠。

(13)一般七次代數方程以二變量連續函數之組合求解的不可能性。

(14)建立代數幾何學的基礎。

荷蘭數學家範德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。

注一舒伯特(Schubert)計數演算的嚴格基礎。

一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交?舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，並給以嚴格基礎。現在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學有密切的關係。但嚴格的基礎至今仍未建立。

(15)代數曲線和曲面的拓撲研究。

此問題前半部涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。後半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環的最多個數N(n)和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式。對n=2(即二次系統)的情況，1934年福羅獻爾得到N(2)≥1;1952年鮑廷得到N(2)≥3;1955年蘇聯的波德洛夫斯基宣佈N(2)≤3，這個曾震動一時的結果，由於其中的若干引理被否定而成疑問。關於相對位置，中國數學家董金柱、葉彥謙1957年證明了(E2)不超過兩串。1957年，中國數學家秦元勳和蒲富金具體給出了n=2的方程具有至少3個成串極限環的實例。1978年，中國的史鬆齡在秦元勳、華羅庚的指導下，與王明淑分別舉出至少有4個極限環的具體例子。1983年，秦元勳進一步證明了二次系統最多有4個極限環，並且是(1，3)結構，從而最終地解決了二次微分方程的解的結構問題，併爲研究希爾伯特第(16)問題提供了新的途徑。

(16)用全等多面體構造空間。

德國數學家比貝爾巴赫(Bieberbach)1910年，萊因哈特(Reinhart)1928年作出部分解決。

(17)正則變分問題的解是否總是解析函數?

德國數學家伯恩斯坦(Bernrtein，1929)和蘇聯數學家彼德羅夫斯基(1939)已解決。

(18)研究一般邊值問題。

此問題進展迅速，已成爲一個很大的數學分支，目前還在繼讀發展。

(19)具有給定奇點和單值羣的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。

此問題屬線性常微分方程的大範圍理論。希爾伯特本人於1905年、勒爾(H.Rohrl)於1957年分別得出重要結果。1970年法國數學家德利涅(Deligne)作出了出色貢獻。

(20)用自守函數將解析函數單值化。

此問題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯(P.Koebe)對一個變量情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。

(21)發展變分學方法的研究。

這不是一個明確的數學問題。20世紀變分法有了很大發展。

(22)用自守函數將解析函數單值化。

此問題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯(P.Koebe)對一個變量情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。

(23)發展變分學方法的研究。

這不是一個明確的數學問題。20世紀變分法有了很大發展。

人物軼事

1. 以希爾伯特命名的數學名詞多如牛毛，有些連希爾伯特本人都不知道。比如有一次，希爾伯特問系裏的同事“請問什麼叫做希爾伯特空間?”

2.1916年，埃米·諾特這位卓有才華的青年婦女來到哥廷根大學。希爾伯特對她的學識倍加欣賞，立即決定讓她留下來當講師，輔助相對論的研究工作。但當時歧視婦女的現象相當嚴重，希爾伯特的建議遭到語言學、歷史學等教授們的強烈反對。希爾伯特拍案而起，大聲疾呼：“先生們，這裏是學校，不是澡堂!” 於是因此激怒了他的對手，希爾伯特對此不爲所動，毅然決定讓諾特以自己的名義代課。