算術研究歷史 算術研究作者

算術研究，德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯於1798年所著數論教材，1801年正式出版，核心課題是同餘理論，二次互反律，原版語言是拉丁文。

寫作歷史

高斯在1796年就準備寫一本數論的著作。一年後，他完成了初稿。1797年11月，高斯開始對初稿進行重寫和修訂，使之成爲可以打印出來的成熟版本。打印工作於1798年4月開始，但由於機器的原因，速度緩慢。然而這也使得高斯有時間補充一些新的內容，特別是第五章的二次互反律的部分：1801年夏季最終出版時的長度已經是初稿時的兩倍。

主題

《算術研究》包括了初等數論和現在稱爲代數數論領域的一部分。然而，高斯在書中並未認識到抽象代數的核心：羣的概念，因此沒有加以應用。高斯將這本書的主題定位爲他所稱的“高等算術”。在這本書的序言一開頭，高斯明確地說到：

“本書將要研究的問題屬於數學中如下的一部分：其考慮的對象只限於整數，偶爾涉及分數，但絕對與無理數無關。”

內容

全書有655頁，分爲七個部分共335篇文章，由淺入深，從同餘理論起步，探討了同餘齊次式、同餘方程和二次剩餘理論。在二次剩餘理論中，高斯在前人的基礎上首次給出了二次互反律的證明。其後高斯又得出了雙二次互反律和三次互反律，並對所謂的高斯整數進行了研究，得到了代數數論的一些基本成果。

前三部分的內容大都是其他數學家的成果，但高斯是首個將這些成果系統地彙集在一本書裏的人。他也是首個意識到唯一分解定理之重要性的人。

進入第四部分後，大部分內容便是高斯的原創了。

高斯曾經寫過《算術研究》的第八部分，探討更高次的同餘方程，但並沒能完成。草稿在他逝世後分批出版。

影響

在《算術研究》發表以前，數論研究只是一些孤立定理與猜想。高斯首次將這些零星的結果加以系統的處理，修補和改進了以往的證明，並在此之上發展出了自己的一系列理論與成果。《算術研究》是現代數論研究的開端。

《算術研究》一書的邏輯結構——聲明定理、給出證明，然後給出系理或推論——爲以後的教科書編寫提供了一個榜樣，成了後世教材的標準結構。爲了使讀者能夠理解證明的邏輯思路，高斯在證明後會給出相應的例子，這一點也爲後來的教材所採用。

《算術研究》亦是十九世紀歐洲數學家如庫默爾、狄利克雷和戴德金等人著書的出發點。他們繼承了高斯的研究。許多《算術研究》中的評註和沒有證明的命題成爲了新的研究熱點。即使到了二十世紀，《算術研究》仍在產生影響。比如第五部分中高斯簡要地敘述了他關於虛二次域類數的計算，並猜想他已經找到了所有類數爲1、2和3的虛二次域。這個後來稱爲類數問題的猜想直到1986年才獲得了肯定的答案。同樣在第五部分，高斯證明了可以被解釋爲黎曼猜想的第一類非平凡情況：哈斯-韋伊定理。

譯本和相關著作

《算術研究》雖然是一部十分重要的數論著作，但由於全書以拉丁文寫就，內容深奧難懂，因此將其翻譯成各國語言和進行註釋闡述的工作一直不斷。1807年，《算術研究》的法文譯本出版。1863年，狄利克雷寫了《數論講義》(Vorlesungen über Zahlentheorie)一書，對《算術研究》作了明晰的闡釋。1889年德文譯本出版。1959年出版了俄文譯本;1965年出版了英文版。

引用

《算術研究》常常被引用，出現在各種數學論文、著作和教材的註釋中。引用時一般簡寫爲“DA”。

評價

“高斯曾說：‘數學是科學的女皇，數論則是數學的女皇。’如果這是真理，我們還可以補充一點：《算術研究》是數論的憲章。”——莫里茨·康託

“此書(《算術研究》)是一座不朽的豐碑，揭示了人類思想所能達到的浩瀚的廣度和令人驚歎的深度。”——愛德華·盧卡斯

“衆書之王”——利奧波德·克羅內克

“高斯首次將數學的這個部分(數論)變成了一門獨立的科學，而《算術研究》則是第一部詳盡而系統的著作。……由於雅可比和狄利克雷……這本二十年來一直被七道漆封的著作成爲了當代的數學。……封漆還未完全解開。”——約翰·西奧多·梅茲

“數論曾一度止步不前，……這就是爲什麼深奧而新穎的《算術研究》預示着高斯將成爲歐洲最偉大的頭腦之一。”——路易·潘索

參見

數論

卡爾·弗里德里希·高斯

二次互反律