歷史上少見的通才——萊布尼茨,萊布尼茨有哪些輝煌成就
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1646年7月1日,戈特弗裏德·威廉·萊布尼茨出生於神聖羅馬帝國的萊比錫,祖父三代人均曾在薩克森政府供職,父親是Friedrich Leibnütz,母親是Catherina Schmuck。長大後,萊布尼茨名字的拼法才改成"Leibniz",但是一般人習慣寫成"Leibnitz"。晚年時期,他的簽名通常寫成"von Leibniz",以示貴族身份。萊布尼茨死後,他的作品才公諸於世,作者名稱通常是"Freiherr [Baron] G. W. von Leibniz.",但沒有人確定他是否確實有男爵的貴族頭銜。
萊布尼茨的父親是萊比錫大學的倫理學教授,在萊布尼茨6歲時去世,留下了一個私人的圖書館。12歲時自學拉丁文,並着手學習希臘文。14歲時進入萊比錫大學唸書,20歲時完成學業,專攻法律和一般大學課程。1666年他出版第一部有關於哲學方面的書籍,書名爲《論組合術》(de arte combinatoria)。
微積分
現今在微積分領域使用的符號仍是萊布尼茨所提出的。在高等數學和數學分析領域,萊布尼茨判別法是用來判別交錯級數的收斂性的。
萊布尼茨與牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。萊布尼茨於1684年發表第一篇微分論文,定義了微分概念,採用了微分符號dx,dy。1686年他又發表了積分論文,討論了微分與積分,使用了積分符號∫。依據萊布尼茨的筆記本,1675年11月11日他便已完成一套完整的微分學。
然而1695年英國學者宣稱:微積分的發明權屬於牛頓;1699年又說:牛頓是微積分的"第一發明人"。1712年英國皇家學會成立了一個委員會調查此案,1713年初發布公告:"確認牛頓是微積分的第一發明人。"萊布尼茨直至去世後的幾年都受到了冷遇。由於對牛頓的盲目崇拜,英國學者長期固守於牛頓的流數術,只用牛頓的流數符號,不屑採用萊布尼茨更優越的符號,以致英國的數學脫離了數學發展的時代潮流。
不過萊布尼茨對牛頓的評價非常的高,在1701年柏林宮廷的一次宴會上,普魯士國王腓特烈詢問萊布尼茨對牛頓的看法,萊布尼茨說道:"在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中,牛頓的工作超過了一半"
牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版也寫道:"十年前在我和最傑出的幾何學家萊布尼茨的通信中,我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法,但我在交換的信件中隱瞞了這方法,……這位最卓越的科學家在回信中寫道,他也發現了一種同樣的方法。他並訴述了他的方法,它與我的方法幾乎沒有什麼不同,除了他的措詞和符號而外"(但在第三版及以後再版時,這段話被刪掉了)。因此,後來人們公認牛頓和萊布尼茨是各自獨立地創建微積分的。
牛頓從物理學出發,運用集合方法研究微積分,其應用上更多地結合了運動學,造詣高於萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問題出發,運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則,其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。
萊布尼茨認識到好的數學符號能節省思維勞動,運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此,他所創設的微積分符號遠遠優於牛頓的符號,這對微積分的發展有極大影響。1714至1716年間,萊布尼茨在去世前,起草了《微積分的歷史和起源》一文(本文直到1846年才被髮表),總結了自己創立微積分學的思路,說明了自己成就的獨立性。
拓撲學
拓撲學最早稱之"位相分析學"(analysis situs),是萊布尼茨1679年提出的,這是一門研究地形、地貌相類似的學科,當時主要研究的是出於數學分析的需要而產生的一些幾何問題。關於萊布尼茨對拓撲學的貢獻,尚存爭論。Mates引用Jacob Freudenthal1954年一篇論文裏的話說:
儘管萊布尼茨認爲一列點在空間中的位置是由其間距離唯一決定的--當且僅當距離發生變化時點的位置發生相應的改變--他的仰慕者歐拉,在他著名的一篇論文(1736年發表,解決了柯尼斯堡七橋問題及其推廣)中,卻是在"拓撲變形時點的位置不發生變化"的意義下使用"幾何位置"這個名詞的。他誤信了萊布尼茨是這個概念的創始者。……人們常常意識不到萊布尼茨是在完全不同的意義下使用這個名詞的,因此被尊爲數學的這個分支領域的奠基人並不恰當。
但平野秀秋持有不同看法,他引用本華·曼德博的話說:
在 萊布尼茨海量的科學成果中探索是發人深省的體驗。除了微積分以及其他已經完成的研究之外,大量涉及內容廣泛且極富前瞻性的研究對科學發展的推動力勢不可 擋。在'填充理論'上即有例子,……在發現萊布尼茨還曾經關注過幾何度量的重要性之後,我對他的狂熱更甚了。在"歐幾里德普羅塔"中……,其使得歐幾里德 公理更加嚴格,他陳述道,……'對直線,我有數種不同的定義。直線是曲線的一種,而曲線的任何部分都是和整體相似的,因此直線也具有這種特性;這不僅適用 於曲線,而且適用於集合。'這個論斷今天已經可以被證明。
因而分形幾何(由本華·曼德博發揚光大)理論在萊布尼茨的自相似性思想和連續性原理中尋求支持:大自然沒有跳躍(拉 丁語"natura non facit saltus",英語"nature does not make jumps")。當萊布尼茨在他的形而上學著作中寫道,"直線是曲線的一種,其任何部分都是和整體類似的",他實際上提前兩個世紀預言了拓撲學的誕生。至 於"填充理論",萊布尼茨對他的朋友Des Bosses說,"你想象一個圓,然後用三個全等的最大半徑的圓填滿它,後來的三個小圓又可以以同樣的過程被更小的圓填充"。這個過程可以無限地繼續下 去,並由此生髮出了自相似性的思想。萊布尼茨對於歐氏公理的改進亦包含同樣的概念。
符號思維
萊布尼茨有個顯著的信仰,大量的人類推理可以被歸約爲某類運算,而這種運算可以解決看法上的差異:
"精煉我們的推理的唯一方式是使它們同數學一樣切實,這樣我們能一眼就找出我們的錯誤,並且在人們有爭議的時候,我們可以簡單的說: 讓我們計算[calculemus],而無須進一步的忙亂,就能看出誰是正確的。" (發現的藝術 1685,W 51)
萊布尼茨的演算推論器,很能讓人想起符號邏輯,可以被看作使這種計算成爲可行的一種方式。萊布尼茨寫的備忘錄(帕金森1966年翻譯了它們)可以被看作是對符號邏輯的探索--所以他的演算--上路了。但是 Gerhard 和 Couturat 沒有出版這些著作,直到現代形式邏輯在 1880 年代於 Frege 的概念文字 和 Charles Peirce 及他的學生的著作中形成,所以就更在喬治·布爾和德·摩根在 1847 開創這種邏輯之後了。
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