戴德金整環定理 戴德金整環證明

戴德金整環，一維諾特整閉整環，在環論中，戴德金整環是戴德金爲了彌補一般數域中算術基本定理之闕如而引入的概念，外文名Dedekind domain，必要條件R是諾特環。

定義

戴德金整環指的是有乘法單位元素 1{displaystyle 1}，並具備下述性質的交換諾特整環A{displaystyle A}：

A{displaystyle A} 不是域。

A{displaystyle A} 的非零素理想皆爲極大理想。

A{displaystyle A} 整閉。

前兩條可合併爲：A{displaystyle A} 之克魯爾維度等於一。另一種表述方式如下：

A{displaystyle A} 對任意極大理想之局部化爲離散賦值環。

A{displaystyle A} 的非零理想皆可逆。換言之：對任意理想 0≠ ≠ -->I⊂ ⊂ -->A{displaystyle 0eq Isubset A}，存在 A{displaystyle A} 的分式環K(A){displaystyle K(A)} 中的有限生成 A{displaystyle A}-子模 J{displaystyle J}，使得 I⋅ ⋅ -->J=A{displaystyle Icdot J=A}。

例子

主理想環與域上的多項式環皆爲戴德金整環。

交換代數的一條定理斷言：若 A{displaystyle A} 是戴德金整環，K=K(A){displaystyle K=K(A)} 爲其分式域，L/K{displaystyle L/K} 是有限擴張，則 A{displaystyle A} 在 L{displaystyle L} 中的整閉包也是戴德金整環。

Z{displaystyle mathbb {Z} } 是最基本的例子，再配合前述定理，可知數域中的代數整數環皆爲戴德金整環。這是戴德金整環在代數數論中的主要應用，也是戴德金引介此概念的原始動機。

唯一分解性質

戴德金整環的分式理想定義爲分式環 K(A){displaystyle K(A)} 中形如 aI{displaystyle aI} 之 A{displaystyle A}-子模，其中 a∈ ∈ -->K(A)× × -->{displaystyle ain K(A)^{imes }} 而 I{displaystyle I} 是 A{displaystyle A} 中的理想。分式理想之間可以定義乘法 aI⋅ ⋅ -->bJ=abJ{displaystyle aIcdot bJ=abJ}，因而非零分式理想構成一個麼半羣，其單位元素爲 A{displaystyle A}。戴德金整環的性質保證此結構是一個羣，換言之，任何非零分式理想皆可逆。

若一理想 I{displaystyle I} 可由某元素 a∈ ∈ -->A{displaystyle ain A} 生成，則稱之主理想;可採類似辦法定義主分式理想。

此外，戴德金整環中的分式理想有唯一分解性：任意分式理想 I{displaystyle I} 可唯一地表成

其中 p{displaystyle {mathfrak {p}}} 過有限個 A{displaystyle A} 的素理想，rp∈ ∈ -->Z{displaystyle r_{mathfrak {p}}in mathbb {Z} }。I{displaystyle I} 是理想當且僅當 ∀ ∀ -->prp≥ ≥ -->0{displaystyle orall {mathfrak {p}};r_{mathfrak {p}}geq 0}。

類羣

在一般的數域 K{displaystyle K} 上，代數整數未必能唯一地表成素數的乘積，但可唯一表成素理想的乘積。在所有理想中，僅有主理想對應到“真正”的代數整數。此時重要的不變量是理想類羣與類數，它們量度了理想與主理想的差距：

可證明理想類羣總是有限交換羣。

文獻

Bourbaki, Nicolas (1972), Commutative Algebra, Addison-Wesley